Matematica 4

Programma

Spazi vettoriali astratti. Basi finite; dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali normati. Funzioni "sommabili" in un intervallo. come esempi di spazi vettoriali normati. Definizione di prodotto scalare in . Definizione di distanza in uno spazio vettoriale normato. Sistemi ortogonali ed ortonormali di funzioni.
Successioni di funzioni. Successioni di funzioni convergenti in un intervallo; funzioni limite. Successioni di funzioni uniformemente convergenti in un intervallo.
Serie di funzioni. Serie di funzioni uniformemente convergenti in un intervallo. Serie di funzioni totalmente convergenti in un intervallo. Teorema sulla continuità della funzione somma di una serie di funzioni; teorema di integrazione per serie; teorema di derivazione per serie.
Serie di potenze nel campo reale. Raggio ed intervallo di convergenza. Ricerca del raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie di Mac Laurin relativa ad una funzione di classe in un intorno dell'origine. Funzioni sviluppabili in serie di Mac Laurin. Cenni sulle serie numeriche e sulle serie di potenze nel campo complesso.
Serie trigonometriche e serie di Fourier. Coefficienti di Fourier di una funzione. L'errore quadratico medio e l'approssimazione. Periodi diversi da 2p . Uguaglianza di Parseval; sua interpretazione fisica. Coefficienti di Fourier di funzioni pari o dispari. Convergenza puntuale delle serie di Fourier. Derivazione termine a termine delle serie di Fourier. Cenni sulla velocità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier. Sviluppo di una funzione in serie di seni o coseni. Forma esponenziale complessa delle serie di Fourier.
Massimi e minimi vincolati di una funzione di due variabili; loro ricerca. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Punti di sella della Lagrangiana. Studio degli estremi condizionati di una funzione mediante le sue curve di livello.

Testi consigliati e bibliografia