Matematica I ed Esercitazioni

Fornire le nozioni fondamentali dell'analisi matematica relativa allle successioni, alle serie e alle funzioni reali di una variabile reale unitamente a nozioni di algebra lineare e di geometria analitica.

Insiemi e numeri. Elementi di teoria degli insiemi, operazioni tra insiemi. Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C. Rappresentazione dei numeri reali su una retta; massimo, minimo, estremo superiore e inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi; radici n-esime di un numero complesso.

Algebra lineare. Vettori nel piano e nello spazio. Elementi di calcolo vettoriale. Vettori in R^n, sottospazi; basi, dimensione. Trasformazioni lineari. Matrici e calcolo matriciale. Determinanti; loro proprietà. Inversa di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Regola di Cramer. Autovalori e autovettori, diagonalizzazione di matrici quadrate. Elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rappresentazione analitica di punti, di rette, di piani. Parallelismo ed ortogonalità di rette e di piani.

Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzioni composte, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone; potenze con esponente reale, funzioni esponenziali e logaritmiche; angoli, funzioni trigonometriche.

Limiti e continuità. Limiti di funzioni reali di variabile reale;  limite della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; limite destro e sinistro. Limiti e funzioni monotone. Continuità di funzioni reali di variabile reale, proprietà notevoli delle funzioni continue.

Calcolo differenziale. Rapporti incrementali, derivate, significato geometrico della derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione fra monotonia e segno della derivata; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, De l'Hopital; derivate di ordine superiore. Studio dei grafici di funzioni derivabili.

Integrali. Primitive di funzioni in un intervallo e integrali indefiniti; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per parti e per sostituzione; calcolo esplicito di integrali di funzioni elementari. Integrazione di funzioni razionali.

Successioni e serie. Cenni sulle successioni, limiti di successioni, successioni monotone e loro limiti. Serie numeriche a termini positivi e criteri per la loro convergenza (confronto, rapporto, radice).

Equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie e problemi di Cauchy. Equazioni del primo ordine a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari a coefficienti costanti.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Matematica (Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare), Zanichelli Editore, Bologna

Testi di utile consultazione:

M. Bertsch: Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri, Torino.

G. De Marco: Analisi Zero, Zanichelli, Bologna (per la matematica di base)

G. Prodi: Istituzioni di matematica, McGraw-Hill, Milano.

Eserciziari:

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 1. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, Bologna

S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di matematica 2. Calcolo infinitesimale, Zanichelli, Bologna